Последняя версия системы AlphaGeometry от DeepMind может решать геометрические задачи лучше, чем большинство экспертов-людей, и соответствует результатам победителей математических олимпиад.
Новый ИИ от DeepMind научился решать задачи по геометрии
3 min
DeepMind представила AlphaGeometry — систему, способную решить столько же задач по геометрии, сколько средний золотой медалист Международной математической олимпиады. AlphaGeometry с открытым исходным кодом решает 25 олимпиадных задач по геометрии за стандартное время, опередив предыдущую современную систему на 10.
Исследователи из НИЦ «Курчатовский институт» — ПИЯФ уточнили «правило Леонардо»
2 min
Группа учёных из Федерального государственного бюджетного учреждения «Петербургский институт ядерной физики им. Б. П. Константинова Национального исследовательского центра “Курчатовский институт”» (НИЦ «Курчатовский институт» — ПИЯФ) создала математический аппарат для определения фрактальной размерности дерева по его фотографии. Исследователи пришли к выводу о структуре лиственных деревьев. Она соответствует модели логарифмического фрактала. Данный вывод уточняет так называемое «правило Леонардо». Учёные опубликовали свои исследования в журнале «Physical Review». Публикация вызвала международный научный резонанс, так как правило около 500 лет не подвергалось сомнению.
Математическая продлёнка. Самый правильный угол
Easy
18 min
Что такое прямой угол? Почему дома, вагоны, книжки и коробки преимущественно прямоугольные? Почему расстояние от точки до прямой вычисляется вдоль перпендикуляра? Как построить прямой угол без циркуля и линейки? Что такое вертикаль и горизонталь и почему с горизонтального стола ничего не скатывается? Почему декартовы координатные оси располагаются под прямым углом? Почему ортогональные геометрические векторы перпендикулярны? Как работает теорема Пифагора в неевклидовых геометриях?
Мы найдём ответы на все приведённые выше вопросы, используя одно единственное свойства прямого угла.
Прекрасные чудовища математики
11 min
Translation
UPD: добавлен график функции.
Подобно своему создателю Карлу Вейерштрассу, это чудовище возникло из ниоткуда. Потратив четыре года учёбы в университете на кутежи и фехтование, Вейерштрасс выпустился из него с пустыми руками. В конце концов он взялся за преподавание и бо́льшую часть 1850-х был школьным учителем в Браунсберге. Ему была отвратительна жизнь в маленьком прусском городишке, он находил своё существование там одиноким. Единственной отдушиной для него стали математические задачи, над которыми он работал между уроками. Но ему не с кем было поговорить о математике, и у него не было технической библиотеки для обучения. Даже результатам его работ не удавалось покинуть пределов Браунберга. Вместо публикации в академических журналах, как это сделал бы университетский исследователь, Вейерштрасс добавлял их к школьным проспектам, пугая потенциальных учеников заумными уравнениями.
В конце концов Вейерштрасс отправил одну из своих статей в уважаемый «Журнал Крелле». Несмотря на то, что предыдущие статьи остались едва замеченными, эта вызвала огромный всплеск интереса. Вейерштрасс обнаружил способ работы с ужасным классом уравнений, известным как «абелевы функции». В статье было приведено краткое изложение его методов, но этого было достаточно, чтобы убедить математиков в наличии у автора уникального таланта. Не прошло и года, как Кёнигсбергский университет дал Вейерштрассу почётную докторскую степень, а вскоре после этого Берлинский университет предложил ему должность профессора. Несмотря на то, что Вейерштрасс проделал интеллектуальный аналог пути «из грязи в князи», многие из его старых привычек сохранились. Он редко публиковал статьи, предпочитая делиться своими работами со студентами. Но он был малопочтителен не только к процессу публикации: не пугали его и «священные коровы» математики.
Матрицы Паули. Финал
Medium
8 min
Case
Матрицы Паули. Финал.
Это последняя статья на эту тему. Все предыдущие с таким заголовком были тренировочными перед этой, с разным результатом, разумеется. И мне и вам, тема как бы интересна, но прямо скажем - не будем на этом зацикливаться.
Спойлеры, что вас ждет в финале:
Визуализация действия операторов Паули на векторы в динамике.
Концепция объединения линейной алгебры и ТФКП.
Простое определение геометрического произведения.
Взаимодействие ковекторов и векторов: градиент и оператор Лапласа.
Обобщение формулы Муавра на матрицы 2х2
Очень много данных по алгебрам Клиффорда и проективной геометрии в ссылках от моего товарища в конце статьи.
Фракталы, рекурсия и Python
Easy
7 min
Translation
Фракталы — это бесконечные сложные узоры, которые самоподобны в разных масштабах. Например, ствол дерева расщепляется на ветки. Те распадаются на еще более мелкие ветви и так далее. Программная генерация фракталов превратит простые формы в сложные узоры. Я покажу, как построить впечатляющие фракталы при помощи Python простой геометрии и знания программирования.
Путь к геометрии Лобачевского 1: скалярное произведение и метрика
Medium
3 min
Часть 2: сфера
В конце 2023 года я провел семинар по геометрии и рассказал про различные её виды - евклидову, сферическую и гиперболическую, или геометрию Лобачевского. Сюжет оказался интересным, поэтому он был развит - я включил в него дополнительные темы, какие-то из них раскрыл подробнее, поменял акценты и самое главное - добавил трехмерные визуализации.
Семинар был разбит на цикл из шести частей, в которых постепенно, с некоторым количеством формул и выводов, написаных от руки, и большим количеством визуализаций, будет пройден путь от длин кривых в евклидовых пространствах до геометрии Лобачевского.
Главным преимуществом цикла являются визуализации и интуитивная подводка к тому, откуда появляются описываемые объекты. В цикле отсутствует постулирование, вроде "вот такую штуку мы назовем прямой", а объекты выводятся из первых принципов. Приглашаю к прочтению!
Алгоритмы о выборе дороги и сетях. Сети Штейнера. Лекция Владимира Протасова в Яндексе
6 min
Сегодня мы поговорим об одной из первых задач теории больших сетей, которая может быть решена полностью на самом простом базовом уровне, но которая от этого не становится менее интересной. Это задача о кратчайшей системе дорог или задача Штейнера.
Впервые она появилась, когда еще никаких практических надобностей для больших сетей не было: в тридцатые годы XX века. На самом деле Штейнер начал ее изучать еще раньше, в XIX веке. Это была чисто геометрическая задача, практические приложения которой стали известны только несколько десятилетий спустя.
Разговор пойдет о той области математики, которая впоследствии выросла в теорию больших сетей и разбилась на несколько областей. Это прикладная отрасль, которая задействует очень много методов из других математических дисциплин: дискретной математики, теории графов, функционального анализа, теории чисел и т.д. Бурное развитие теории больших сетей пришлось на конец девяностых и начало двухтысячных годов. Связано это конечно, с прикладными задачами: развитием интернета, мобильной связи, транспортных задач для больших городов. Кроме того теория сетей используется в биологии (нейронные сети), при построении больших электронных плат и т.п.
Сама задача формулируется очень просто. Есть несколько точек на плоскости, которые нужно связать системой дорог наименьшей суммарной длины таким образом, чтобы по этим дорогам можно было из каждой точки добраться в любую другую. Число точек конечно.
Начать рассказ стоит с истории о том, как на Малом мехмате двум группам учеников – восьмиклассникам и одиннадцатиклассникам дали решать одну и ту же задачу. Четыре деревни расположены в вершинах квадрата со стороной четыре километра. Существует ли система дорог, которая связывала бы все эти деревни между собой и имела бы суммарную длину не превосходящую 11 километров.
Впервые она появилась, когда еще никаких практических надобностей для больших сетей не было: в тридцатые годы XX века. На самом деле Штейнер начал ее изучать еще раньше, в XIX веке. Это была чисто геометрическая задача, практические приложения которой стали известны только несколько десятилетий спустя.
Разговор пойдет о той области математики, которая впоследствии выросла в теорию больших сетей и разбилась на несколько областей. Это прикладная отрасль, которая задействует очень много методов из других математических дисциплин: дискретной математики, теории графов, функционального анализа, теории чисел и т.д. Бурное развитие теории больших сетей пришлось на конец девяностых и начало двухтысячных годов. Связано это конечно, с прикладными задачами: развитием интернета, мобильной связи, транспортных задач для больших городов. Кроме того теория сетей используется в биологии (нейронные сети), при построении больших электронных плат и т.п.
Сама задача формулируется очень просто. Есть несколько точек на плоскости, которые нужно связать системой дорог наименьшей суммарной длины таким образом, чтобы по этим дорогам можно было из каждой точки добраться в любую другую. Число точек конечно.
Начать рассказ стоит с истории о том, как на Малом мехмате двум группам учеников – восьмиклассникам и одиннадцатиклассникам дали решать одну и ту же задачу. Четыре деревни расположены в вершинах квадрата со стороной четыре километра. Существует ли система дорог, которая связывала бы все эти деревни между собой и имела бы суммарную длину не превосходящую 11 километров.
Машинное искусство и стиль Midjourney на примере круга
9 min
Translation
Как материалы, настроения и среды влияют на генерацию круга
Этот текст для тех, кто хотел бы посмотреть на MidJourney в деле, но не может выделить время, чтобы, наконец, попробовать. А ещё для тех, кому нужно отвлечься от рабочей среды и погрузиться во что-нибудь, что увлекает и расслабляет внимание. Материалом для отдыха делимся к старту флагманского курса по Data Science.
Рассвет. Огромное кольцо жёлтого света плывёт в воздухе над двумя силуэтами. Пустынный ландшафт простирается к высокой скале-останцу из песчаника. Позади круг из клубящихся облаков.
История Эйфелевой башни и… «Начертательная Геометрия»
4 min
Для студентов технических специальностей ВУЗов в качестве исторической справки.
Заведующая автомобильно-механическим отделением Лозовского филиала Харьковского автомобильно-дорожного техникума, преподаватель высшей категории, Кожокару Елена Владимировна
125 лет назад, 31 марта 1889 г., состоялось официальное открытие самой узнаваемой архитектурной достопримечательности Парижа — Эйфелевой башни. Теперь она известна во всем мире как символ Франции.
Во время строительства Густав Эйфель решил выгравировать под первым балконом башни, на всех четырёх её сторонах, имена 72-х самых известных французских инженеров, математиков и ученых, которые внесли весомый вклад в историю развития науки. Причем, какой-либо алфавитный или хронологический порядок следования имён на башне отсутствует.
Эйфелева башня, Париж
Заведующая автомобильно-механическим отделением Лозовского филиала Харьковского автомобильно-дорожного техникума, преподаватель высшей категории, Кожокару Елена Владимировна
125 лет назад, 31 марта 1889 г., состоялось официальное открытие самой узнаваемой архитектурной достопримечательности Парижа — Эйфелевой башни. Теперь она известна во всем мире как символ Франции.
Во время строительства Густав Эйфель решил выгравировать под первым балконом башни, на всех четырёх её сторонах, имена 72-х самых известных французских инженеров, математиков и ученых, которые внесли весомый вклад в историю развития науки. Причем, какой-либо алфавитный или хронологический порядок следования имён на башне отсутствует.
Эйфелева башня, Париж
Математики нашли способ одновременного соприкосновения 7 цилиндров
1 min
Более 50 лет назад автор популярных статей о математике в журнале Scientific American Мартин Гарднер предложил читателям задачу: «Можете ли вы разместить семь сигарет таким образом, чтобы каждая из них соприкасалась со всеми остальными?»
Эффективная разработка логотипа, часть 3: влияние геометрии на разработку логотипов
10 min
Translation
Часть 2
Галилео знал об этом. Все древние цивилизации, оставившие след в культуре, знали это. Простые формы составляют основу геометрии вселенной. Люди много чего изобрели, но простые формы придумали не мы. Мы открыли их, наблюдая за природой. Понимание основных форм и их функций научило нас ориентации в пространстве и времени, вдохновило на математику, технологию, языки и эволюцию.
Набор простых форм использовался в искусстве всех культур: круг, пересекающиеся линии, треугольник, квадрат и спираль. Культурный антрополог Анжель Арьен изучала и записывала общие черты видов искусств несколько десятков лет, и нашла повторяющиеся формы, использующиеся во всех видах искусства. Она назвала их «пять универсальных форм».
Каждая из основных форм имеет свою функцию, она объединяет форму и предназначение. Круг свободно катится, линии путешествуют и пересекаются, треугольник надёжно стоит и указывает от себя, четырёхугольник неизбежно стабилен, спираль закручивается с элегантной настойчивостью. Не дайте простоте форм обмануть себя. Они такие простые, и именно поэтому они масштабируются и используются как кирпичики, составляющие природу и мир, созданный руками человека. А ещё они служат для передачи сообщения в логотипах.
Цель логотипа – передать нечто клиенту самым простым, но всеобъемлющим способом. Простые формы рассказывают об основных свойствах организации непосредственным способом, и используются во всех видах дизайна – графическом, интерьерном, ландшафтном, продуктовом, индустриальном и архитектурном.
Наши чувства обрабатывают огромный объём информации. И лишь малая часть её замечается сознанием, поскольку мозг не может обработать бесконечный поток, генерируемый внешним миром. Из-за количества информации большая её часть усваивается подсознательно.
Галилео знал об этом. Все древние цивилизации, оставившие след в культуре, знали это. Простые формы составляют основу геометрии вселенной. Люди много чего изобрели, но простые формы придумали не мы. Мы открыли их, наблюдая за природой. Понимание основных форм и их функций научило нас ориентации в пространстве и времени, вдохновило на математику, технологию, языки и эволюцию.
Вселенную нельзя прочесть, пока мы не выучим язык, которым она написана. Она написана языком математики, а буквы его – треугольники, круги и другие геометрические фигуры, без которых человек не способен понять ни единого слова.
— Галилео Галилей
Геометрические инструменты
Набор простых форм использовался в искусстве всех культур: круг, пересекающиеся линии, треугольник, квадрат и спираль. Культурный антрополог Анжель Арьен изучала и записывала общие черты видов искусств несколько десятков лет, и нашла повторяющиеся формы, использующиеся во всех видах искусства. Она назвала их «пять универсальных форм».
Каждая из основных форм имеет свою функцию, она объединяет форму и предназначение. Круг свободно катится, линии путешествуют и пересекаются, треугольник надёжно стоит и указывает от себя, четырёхугольник неизбежно стабилен, спираль закручивается с элегантной настойчивостью. Не дайте простоте форм обмануть себя. Они такие простые, и именно поэтому они масштабируются и используются как кирпичики, составляющие природу и мир, созданный руками человека. А ещё они служат для передачи сообщения в логотипах.
Немного геометрии
Цель логотипа – передать нечто клиенту самым простым, но всеобъемлющим способом. Простые формы рассказывают об основных свойствах организации непосредственным способом, и используются во всех видах дизайна – графическом, интерьерном, ландшафтном, продуктовом, индустриальном и архитектурном.
Для меня ни один детский опыт не принёс такой уверенности в собственных исследовательских возможностях, как геометрия.
— Ричард Бакминстер Фуллер
Наши чувства обрабатывают огромный объём информации. И лишь малая часть её замечается сознанием, поскольку мозг не может обработать бесконечный поток, генерируемый внешним миром. Из-за количества информации большая её часть усваивается подсознательно.
Как измерить кривизну пространства с помощью линейки
10 min
С началом строительного сезона самое время обновить знания о некоторых полезных инструментах прикладной дистанционной геометрии. Дистанционная геометрия здесь означает, что у нас в руках есть линейка и калькулятор. С помощью линейки мы можем измерять расстояния между точками (пространства), а с помощью калькулятора (расширенного некоторыми функциями линейной алгебры) - рассчитывать разные геометрические характеристики и свойства набора точек.
Перечислим типичные вопросы:
Z-Desk — геометрические построения в пространстве
7 min
Привет, Хабр. Хочу рассказать об одной своей разработке в области 3D-графики, которую назвал Z-Desk.
Мои родители – инженеры. У нас дома была чертежная доска. Было что-то волшебное, когда на нее закреплялась бумага, а на бумаге с помощью нехитрых инструментов создавался чертеж. Школьное черчение стало моим любимым предметом. В институте появилась вообще срывающая голову дисциплина — начертательная геометрия. С помощью простых правил можно было делать сложнейшие пространственные построения.
Предыстория
Мои родители – инженеры. У нас дома была чертежная доска. Было что-то волшебное, когда на нее закреплялась бумага, а на бумаге с помощью нехитрых инструментов создавался чертеж. Школьное черчение стало моим любимым предметом. В институте появилась вообще срывающая голову дисциплина — начертательная геометрия. С помощью простых правил можно было делать сложнейшие пространственные построения.
Stacks Project — учебник по алгебраической геометрии с открытым исходным кодом
5 min
Translation
Последние 15 лет профессор Колумбийского университета Йохан де Йонг посвятил тому, что собирал основополагающие теоремы алгебраической геометрии в одном месте. Его творение, Stacks Project, предлагает новую модель организации и визуализации математических сведений.
К старту флагманского курса по Data Science рассказываем о проекте профессора.
Преобразования Мебиуса — наглядное объяснение (видеоролик)
1 min
Наверняка многие из вас слышали про Мебиуса — это немецкий математик и астроном-теоретик, наиболее известный благодаря так называемому «листу мебиуса». Даже вон наш дизайнер Всея Руси торгует эспандерами на его основе.
Лист Мебиуса — это простейшая односторонняя поверхность с краем. Попасть из одной точки этой поверхности в любую другую можно, не пересекая края.
Лист Мебиуса — это простейшая односторонняя поверхность с краем. Попасть из одной точки этой поверхности в любую другую можно, не пересекая края.
Почему треугольники просты, а тетраэдры сложны
7 min
Translation
Как вы думаете, существует ли треугольник с углами 41, 76 и 63 градусов?
Поначалу кажется, что ответ прост. Из уроков геометрии мы знаем, что сумма внутренних углов треугольника равна 180 градусам, и поскольку 41 + 76 + 63 = 180, ответом будет «да».
Но в этом вопросе есть и невидимая поначалу сторона. Теорема о сумме углов треугольника гласит, что для треугольника в плоской евклидовой геометрии сумма внутренних углов равна 180 градусов. Но в нашей задаче не даётся треугольник, а спрашивается, существует ли он. Теорема о сумме углов треугольника не отвечает непосредственно на этот вопрос, однако помогает построить нужный нам треугольник.
Введение в геометрию правильных шестиугольников на плоскости
4 min
Задание системы координат
При реализации перемещения по карте в играх последнее время стало модным использование
для точки пространства правильного шестиугольника (hex). Это и вправду решает большое количество вопросов. Например, не требует перемещения через углы многоугольника. Шести направлений для движения оказывается вполне достаточным для передачи реалистичности перемещений.
При реализации перемещения по карте в играх последнее время стало модным использование
для точки пространства правильного шестиугольника (hex). Это и вправду решает большое количество вопросов. Например, не требует перемещения через углы многоугольника. Шести направлений для движения оказывается вполне достаточным для передачи реалистичности перемещений.
Представляем десятое измерение
1 min
Любители квантовой физики и сайта TED.com наверняка слушали доклад Брайна Грина про теорию суперструн, в котором упоминалось, что данная теория будет работать только при наличии целых 11 измерений! Эх… А ведь нам даже четвертое-то измерение представить довольно трудно, а вы про какие-то десять говорите… Но, несмотря на это, мы попытались перевести и переозвучить видеоролик, который интересно и доходчиво объясняет, как же можно представить себе аж десятое измерение!