Все знают что такое аксиомы, но мало кто понимает что они из себя представляют.
Исходную формулировку "аксиома это положение принимаемое как истинное без доказательств" трактуют как то, что аксиома это что-то что является настолько незыблемой и очевидной истиной, что не требует никаких доказательств.
Проблема такой трактовки состоит в слове "является", и вот почему.
Задача родилась у нас в водном походе в Карелии. Мы попали в разгар черники и собирали чернику буквально походными котелками, потом ели ее со сгущенкой, или варили компот. Задача такая:
«В походный котелок помещается X кг черники. Сколько кг черники поместится в этот котелок, если уминать чернику ложкой?» Краевыми эффектами пренебречь. Задачу предлагалось решить в уме. Никто не справился.
Мы догадались, что после утряски шарики черники должны упаковываться как пушечные ядра, сложенные правильной горкой. Четыре соседних шарика, касающихся друг друга располагаются в вершинах тетраэдра.
Последние 15 лет профессор Колумбийского университета Йохан де Йонг посвятил тому, что собирал основополагающие теоремы алгебраической геометрии в одном месте. Его творение, Stacks Project, предлагает новую модель организации и визуализации математических сведений.
К старту флагманского курса по Data Science рассказываем о проекте профессора.
Любопытная и в то же время незамысловатая пространственная загогулина, лента Мёбиуса, кажется, могла бы быть интересной формой для «террейна» в компьютерной игре. Так за чем же дело встало?
Проходил тест у психиатра. Хорошо, что не стал с ним спорить о том, что же куб или не куб нарисовали в тесте канадские учёные. Тест я благополучно прошёл. Но остались сомнения: чем мог для меня закончиться спор с психиатром? Ведь теперь запись врача в электронную медицинскую карту не так легко оспорить и исправить пациенту. А уж смотреть то эту электронную карту может не только пациент.
В этой истории я расскажу Вам про мои попытки разгадать секрет женских портретов Модильяни, как при этом я пришел к проблемам визуального восприятия нами внешнего мира и познакомился с перцептивной геометрией.
Приветствую Вас, уважаемые Читатели! Сегодня я хочу поговорить о таком геометрическом понятии, как конгруэнтность. В повседневной жизни мы его не используем, ведь куда проще говорить о равенстве, чем о такой трудновыговариваемой конструкции. Однако, в математике между ними есть отличие. Давайте на примерах!
Для начала возьмем два отрезка. В графическом редакторе они у меня получились с помощью "копировать-вставить". Что мы можем сказать о них?
Решение геометрических задач, даже обычной школьной сложности, — процесс довольно творческий. Нужно что-то заметить, где-то проявить интуицию, пробовать разные подходы и придумывать свои. Отсюда возникает два вывода. Первый — раз задача творческая и не всегда понятно, какими именно принципами руководствоваться, значит она прекрасно подходит для искусственного интеллекта. Второй — противоположный, о котором наверняка думали хоть раз все, у кого с геометрией в школе было туго: нужно максимально формализовать решение, найти законы и превратить творческий процесс в набор правил. Как это обычно бывает, лучшим решением оказывается объединение противоположностей. Но обо всём по порядку.
Математику было достаточно просто изучить?
Я услышал множество хороших отзывов о книге Calculus Made Easy by Silvanus P. Thompson. Начал читать и правда, это была самая простая книжка на английском, которую я читал (советую попробовать почитать в оригинале), причем понял лучше, чем на родном языке.
Но зачем ее читать взрослым людям, знакомым с математикой не понаслышке?
В этом вопросе все просто: наверняка у многих уже есть дети или скоро будут, поэтому прививать любовь к знаниям и науке нужно с малых лет, иначе школа с их скупым языком испортит у ребенка все желание тянуться к прекрасному.
Но это не только для детей книга. Взрослым может посмотреть, а тому ли его учили в школе и не перепутал он ничего из-за долгих лет планирования бизнес-логики.
Особенно поможет людям, которые мечтали стать хардкорными "дата-сатанисами" и прочими гениями современности, но как-то все не складывалось. Для множества тестеров, эйчаров, проект менеджеров, кто нашел себя в айти, но хочет еще развиваться.
Перевод довольно вольный, я не профессиональный переводчик и даже не учился в MIT, но постарался предать максимально понятно и близко к смыслу текста. Приму ваши замечания к сведению. Перевел тестовый кусок, чтобы понять интересно ли вам такое, чтобы замотивироваться. Первый кусочек принадлежит кому-то, кто написал вводную книги, а второй оригинальному автору, что еще интереснее и забавнее. Ну что, полетели.
В данной статье представляю читателям мой новый сайт и интерактивную веб-программу на нем.
Примерно полтора месяца тому назад я опубликовал на хабре статью. рассказывающую о расслоении Хопфа и его визуализации на экране компьютера. Напомню, что расслоение Хопфа позволяет, в некотором смысле, визуализировать трехмерную сферу при помощи обычных окружностей называемых "окружностями Хопфа".
Вскоре после публикации этой статьи я обнаружил в интернете материал, в котором вместо окружностей Хопфа использовались прямые линии. Весь этот материал представляет собой всего один рисунок (даже не скриншот программы), на котором можно увидеть двойственность между окружностями и прямыми. На сайте можно увидеть данный рисунок и ссылку на этот материал. Никаких других материалов, сайтов или визуализаций на эту тему найти больше не удалось.
Поэтому я решил дополнить свою программу визулизации расслоения Хопфа новыми возможностями связанными с заменой окружностей Хопфа на прямые линии (и не только). Сразу скажу, что при использовании прямых в этом расслоении получается не тор, а гиперболоид. Это само по себе, на мой взгляд, является весьма нетривиальным фактом.
Обращу внимание еще на один интересный момент. На всех сайтах и статьях, которые мне удалось найти, программа визуализации расслоения Хопфа создается хотя и с привлечением комплексного пространства и сферы Римана, но без явного использования элементов квантовой механики, понятия спина электрона и квантовых вращений. Обычно для этой визуализации используются кватернионы. Но кватернионы при их практическом применении требуют хороших соответствующих знаний и навыков.
В октябре с мыса Канаверал во Флориде должна стартовать тяжёлая ракета Falcon Heavy с миссией НАСА Europa Clipper. Миссия стоимостью 5 миллиардов долларов призвана выяснить, может ли Европа, четвёртый по величине спутник Юпитера, поддерживать жизнь. Но поскольку Европу постоянно бомбардирует интенсивное излучение, создаваемое магнитным полем Юпитера, космический аппарат «Клипер» не сможет выйти на орбиту самого спутника. Вместо этого он будет двигаться по эксцентрической орбите вокруг Юпитера и собирать данные, неоднократно пролетая мимо Европы — в общей сложности 53 раза, — а затем удаляясь от места наибольшего излучения. Каждый раз, когда космический аппарат будет огибать Юпитер, его траектория будет немного отличаться, что позволит ему делать снимки и собирать данные от полюсов Европы до её экватора.
Для планирования таких запутанных маршрутов, как этот, специалисты по планированию траекторий используют компьютерные модели, которые тщательно просчитывают траекторию шаг за шагом. При планировании учитываются сотни требований миссии, и в этом помогают десятилетия математических исследований орбит и способов их соединения в сложные маршруты. Сейчас математики разрабатывают инструменты, которые, как они надеются, можно будет использовать для создания более систематического понимания того, как орбиты связаны друг с другом.
С началом строительного сезона самое время обновить знания о некоторых полезных инструментах прикладной дистанционной геометрии. Дистанционная геометрия здесь означает, что у нас в руках есть линейка и калькулятор. С помощью линейки мы можем измерять расстояния между точками (пространства), а с помощью калькулятора (расширенного некоторыми функциями линейной алгебры) - рассчитывать разные геометрические характеристики и свойства набора точек.
Перечислим типичные вопросы:
Некоторое время назад я задумывался о том, возможно ли мышление без языка, только на уровне визуальных образов. В отличие от естественного языка, пиктографическая или геометрическая знаковая система в гораздо меньшей степени подвержена полисемии и ошибкам, связанным с неверной интерпретацией последовательности или контекста. Может ли быть, что визуальный язык окажется для некоторых машин/роботов более понятным, чем лингвистический? Размышляя об этом, я нашёл на Хабре статью уважаемого @FirstJohn в блоге компании FirstVDS «Семь дощечек мастерства на службе ML» от февраля 2023 года, рассказывающую об алгоритмическом применении танграма. Ниже я подробнее расскажу об этой игре, а также о том, как её сегодня пытаются применять в распознавании образов и при решении других задач, связанных с комбинаторикой.
Математика может дарить красоту не только нашему уму, но и глазам. Сегодня я предлагаю полюбоваться красивыми картинками, получающимися, при соединении геометрии, теории групп и клеточных автоматов.
Матрицы Паули. Финал.
Это последняя статья на эту тему. Все предыдущие с таким заголовком были тренировочными перед этой, с разным результатом, разумеется. И мне и вам, тема как бы интересна, но прямо скажем - не будем на этом зацикливаться.
Спойлеры, что вас ждет в финале:
Визуализация действия операторов Паули на векторы в динамике.
Концепция объединения линейной алгебры и ТФКП.
Простое определение геометрического произведения.
Взаимодействие ковекторов и векторов: градиент и оператор Лапласа.
Обобщение формулы Муавра на матрицы 2х2
Очень много данных по алгебрам Клиффорда и проективной геометрии в ссылках от моего товарища в конце статьи.