Математика *

На хабре уже пару раз упоминался дизеринг, но в довольно узком ключе. Здесь, я хоть и буду делать упор на применение дизеринга в графике, я хочу продемонстрировать его недооценённость, из-за чего его снова и снова переизобретают.

Вот в этом замечательном подкасте широко известный в России математик и общественный деятель А.В. Савватеев сказал, что Теория категорий — это современная концепция, представляющая собой одну из вершин математики, которую вообще мало кто глубоко понимает на самом деле. Однако, как известно, запретный плод сладок, и раз в современном мире есть какая-то научная теория, которую мало кто понимает даже из профильных специалистов, то мне, как обывателю из-за этого факта стало еще интереснее ну хоть на каком-то уровне разобраться в сути этой загадочной теории.

Разбираем стажерско-джуновский вопрос с собеседования.

Вопрос с собеса:

«Можем ли мы описать параболу линейной регрессией?»

Вместо краткого введения. Активно использую в работе DeekSeek уже чуть больше двух недель, очень доволен им и в целом продуктивность и скорость работы выросли. Но рассказать хотелось бы не об этом, точнее, не совсем об этом.

Накануне, лежа поздним вечером на диване в попытке переключиться на другие, не связанные с рабочим контекстом материи, думая о разных абстракциях, стал рассматривать интересную аналогию. Если кратко, можно найти соответствие между базовыми арифметическими операциями и общеизвестными математическими понятиями, функциями и онтологическими, смысловыми категориями философского или физического мира. Например, сложение - это линейное увеличение масштаба сущности, соответственно, вычитание - линейное уменьшение. Умножение требует уже двух (как минимум) разных типов категорий и представляет собой их суперпозицию, нечто, обладающее эмерджентными свойствами, несводимыми к сумме свойств категорий по отдельности. Ну то есть, пример из физики. Длина пройденного пути есть произведение скорости движения тела на время движения (при условии равномерного движения без действия сил). Длина пути обязательно включает произведение, "пересечение" свойств скорости движения и времени пути, не может быть просто их суммой. Деление, соответственно, можно представить как вычленение свойств сущности числителя из свойств сущности в знаменателе, как бы отделение ядра первого от ядра второго. "0" - философское, физические и метаабстрактное ничто. И так далее. В общем, грубые наброски некой метаабстрактной смысловой, онтологической алгебры. В какой-то момент стало интересно, насколько все это бестолковые блуждания уставшего мозга программиста или же подобные аналогии как-то рассматриваются и применяются где-то, в направлении теории множеств, некой метаматематике или философской математике, к примеру. Я скормил несколько подобных идей DeekSeek и он ответил, что в моих рассуждениях что-то есть и на основе аналогий математических понятий и смысловых абстрактных понятий и философского и физического мира можно создать концепт для междисциплинарной науки.

Языковые модели лучше справляются с математикой при использовании "верифицируемой траектории рассуждений"

(обзор модели rStar-Math)

Что делает ИИ-систему хорошей в математике? Не сырая вычислительная мощность, а нечто почти противоречивое: невротичная тщательность в проверке своей правоты.

Когда исследователи ИИ говорят о математических рассуждениях, они обычно сосредотачиваются на масштабировании — более крупных моделях, большем количестве параметров, объёмных датасетах. Но на практике математические способности не зависят от объема вычислительных ресурсов вашей модели. Всё дело в том, могут ли машины научиться проверять собственную работу, поскольку не менее 90% ошибок в рассуждениях возникают из-за того, что модели уверенно утверждают неверные промежуточные шаги.

Полагаю, это звучит очевидно, когда понимаешь суть. Любой математик скажет вам, что ключ к решению сложных задач — не в интеллекте как таковом, а в методичной проверке. Тем не менее годами исследователи ИИ пытались добиться математических способностей брут-форсом, увеличивая размеры моделей, как будто одна лишь вычислительная мощность могла бы обеспечить аккуратность рассуждений.

Гипотеза континуума (CH) утверждает, что между множеством натуральных чисел и множеством вещественных чисел нет промежуточной мощности. Классическая теория множеств рассматривает вещественную прямую как уже завершённое и неделимое множество мощности континуума.

В данной работе предлагается стратифицированная альтернатива классической модели континуума. Вещественные числа вводятся по мере роста выразительной силы формальных систем. Каждое число получает собственный «уровень определимости», отражающий, на каком этапе и с какими средствами его можно задать. Эта иерархия формирует фрактальную структуру: множество конструктивно определимых чисел распадается на счётное множество непересекающихся слоёв, каждый из которых имеет континуальную мощность и внутреннюю плотность.

В данной модели гипотеза континуума теряет силу как утверждение о «прыжке» между счётным и несчётным — вместо него появляется непрерывная шкала уровней определимости и континуальности.

Классический отрезок [0,1] в этом подходе можно рассматривать как завершение конструктивного фрактального ядра путём добавления чисел, определяемых только через аксиому выбора. В результате возникает гибридная модель, сочетающая точность конструктивной иерархии с полнотой классической теории.

Около десяти лет назад Тонан Камата, ныне математик из Японского института передовых наук и технологий (JAIST), заворожённо стоял перед экспонатом математического музея, похожим на оригами. На нём была изображена треугольная плитка, разрезанная на четыре части, которые были соединены крошечными шарнирами. При простом повороте кусочки вращались, превращая треугольник в квадрат.

Экспозиция ведёт свою историю от математической головоломки, опубликованной в газете 1902 года. Генри Дьюдени, английский математик-самоучка и автор колонки головоломок, попросил своих читателей разрезать равносторонний треугольник на наименьшее количество частей, которые можно будет потом сложить в квадрат. В своей следующей колонке через две недели он отметил, что «мистер К. У. Макилрой из Манчестера» — Чарльз Уильям Макилрой, клерк, который часто писал Дьюдени с решениями головоломок, — нашёл решение из четырёх частей. Спустя ещё две недели Дьюдени сообщил, что никто из других читателей газеты не смог справиться с этой задачей, и с тех пор рекорд остаётся в силе. Однако до сих пор не доказано, существует ли решение с меньшим количеством кусочков.

Хабр, привет! Сегодня сравним два подхода к А/Б тестированию: байесовский и частотный. Обсудим сложности в интерпретации p-value. Посмотрим, как можно учитывать дополнительную информацию через априорное распределение. Остановим тест раньше времени и решим проблему подглядывания.

Теме криптографии посвящён сериал Prime Target (в русской локализации называется «Опасные числа»). Он включает в себя множество математических и криптографических отсылок, которые обогащают его сюжет и подчёркивают интеллектуальные вызовы, стоящие перед героями. В этой статье вместе с настоящими криптографами мы разберём, какие атрибуты были использованы в сериале, и что из них похоже на правду.

 — Коллеги, пожалуйста, представьтесь нашим читателям.

— Иван Чижов, заместитель руководителя лаборатории криптографии по научной работе компании «Криптонит».

— Илья Герасимов. Я аспирант кафедры информационной безопасности ВМК МГУ и работаю специалистом-исследователем в лаборатории криптографии «Криптонита».

 — Интересно! Главный герой сериала — тоже аспирант.

— И тоже математик, но на этом наше сходство заканчивается [смеётся]. Скажем так, область научных интересов у него другая. Я занимаюсь криптографией на эллиптических кривых, а главный герой сериала ищет закономерности в числовых рядах.

 — В этом есть какой-то смысл?

— Да. Этим занимается теория чисел. Математика отражает законы природы и выявляет закономерности. Например, у главного героя на стене висит вырезка из газеты с фотографией раковины моллюска и заголовком «Primes of the Past».

Новое математическое доказательство расширяет работу Марьям Мирзахани и закрепляет её наследие как пионера экзотических областей математики. 

В начале 2000-х годов молодая аспирантка Гарвардского университета начала составлять карту экзотической математической вселенной, населённой формами, которые бросают вызов геометрической интуиции. Её звали Марьям Мирзахани, и она стала первой женщиной, получившей медаль Филдса, высшую награду в математике. К концу жизни у неё было более семи математических наград, также она являлась членом четырёх научных обществ и академий разных стран. 

Её самые ранние работы были посвящены «гиперболическим» поверхностям. Ещё в аспирантуре она разработала новаторские методы, которые позволили ей начать каталогизировать эти формы, прежде чем совершить революции в других областях математики. Она надеялась вернуться к своей карте гиперболической области позже, чтобы заполнить её деталями и сделать новые открытия. Но не успела…  В статье, опубликованной в сети в феврале, Налини Анантараман из Коллеж де Франс и Лора Монк из Бристольского университета развили исследования Мирзахани, чтобы доказать общее утверждение о типичных гиперболических поверхностях.

Пишу этот текст совершенно без намерения оскорбить авторов Excel. Это фантастически успешный софт, который по праву считается золотым стандартом среди табличных редакторов. Тем не менее, в этом году Excel уже стукнуло 40. В таком почтенном возрасте его семантика всерьёз страдает из-за костылей, которые накапливались не один десяток лет, обеспечивая обратную совместимость.

Одно из самых интересных дел, которыми мне приходится заниматься на работе — это обратная разработка Excel. Я выискиваю причуды в его поведении и решаю, как поступать с ними в нашем фирменном табличном редакторе. Благодаря моему повседневному труду, наши пользователи, возможно, и не подозревают, сколько недокументированных грехов совершила Microsoft ради совместимости. Приглашаю вас одним глазком взглянуть на те ужасы, с которыми мне приходится тягаться — и тогда вы тоже станете бояться Microsoft Excel — не потому, что чего-то не знаете, а наоборот, так как знаете слишком много.

Нассим Талеб — гениальный современный экономист, математик, философ и писатель. Его творчество оказало колоссальное (позитивное) влияние на моё отношение к жизни.

В этой статье я хочу кратко познакомить читателей Хабра с четырьмя книгами этого рационалиста и показать, как практика успешной торговли на бирже привела автора к осмыслению принципов адекватности... и даже общественных законов этики.

В каждой книге вас ждёт много математики и статистики, юмора, философии (сугубо практичной), а также истории из личного опыта автора и его окружения. А в качестве мета‑сообщения они несут мощный заряд рационального подхода к жизни, который я бы сформулировал так: «единственное, чему стоит верить — это своим глазам».

Когда встал вопрос "о чем писать диплом", я точно знала, что не хочу писать о чем-то скучном или не интересным для меня. Было много идеи (не только про аниме) и даже в сфере аниме - не только про задачу прогнозирования. Когда уже надо было утверждать тему, на одной из лекции как раз рассказывали про задачи классификации и прогнозирования. Я знала, что уже есть вагон и маленькая тележка статей про прогнозирование в области фильмов, но в аниме? Критически мало. И я решила это исправить)

Математик Деннис Гайцгори из Института математики Макса Планка в Бонне, Германия, получил престижную премию «Прорыв» в области математики в размере 3 миллионов долларов за доказательство геометрической гипотезы Ленглендса — одной из самых сложных математических проблем современности. Эта гипотеза является важной частью того, что математик Эдвард Франкель назвал «великой объединённой теорией математики», призванной связать разрозненные математические области.

Общая суть метода «обратного распространения ошибки» от простого примера до создания полносвязной нейронной сети.

Представьте себе мир геометрии, но немного странный – мир из пластилина или резины.

Резиновая геометрия (Топология): Представьте, что фигуры можно как угодно мять, растягивать, сжимать, но нельзя рвать или склеивать. В таком мире, например, бублик и кружка с ручкой – это одно и то же! Почему? Потому что из пластилинового бублика можно вылепить кружку, не разрывая его (дырка бублика станет дыркой в ручке). А вот бублик и шар – это разные вещи, потому что чтобы из шара сделать бублик, нужно проделать дырку (то есть "порвать"). Эта "резиновая геометрия" называется топологией. Она изучает самые основные свойства фигур, которые не меняются при таких деформациях.

Энергетические системы — одни из самых сложных инженерных систем современности. С развитием возобновляемых источников и увеличением нагрузок их управление становится все более трудоемким. Традиционные методы расчета и планирования начинают уступать место интеллектуальным алгоритмам. Искусственный интеллект (ИИ) и продвинутые алгоритмы позволяют анализировать огромные массивы данных и принимать решения быстрее и точнее, чем было возможно раньше. Уже сегодня исследователи и инженеры применяют машинное обучение, нейросети и методы оптимизации для прогнозирования потребления, планирования сетевой инфраструктуры и автоматизации управления энергосистемами. Например, переход к углеродно-нейтральной энергетике и распределенной генерации приводит к такой сложности режимов работы сетей, с которой традиционные методы не справляются.

Всем привет, меня зовут Сергей, и в этой статье я рассмотрю ключевые направления применения ИИ и алгоритмов в электроэнергетике: от расчетов сетевых нагрузок и прокладки оптимальных маршрутов ЛЭП до обнаружения аномалий и обучения агентов, управляющих сетью.

К середине XX века выяснилось, что уравнение синус-Гордона ранее было отрыто математиками в области дифференциальной геометрии, и ими же были выведены преобразования Бэклунда позволившие получать различные конфигурации поверхностей с постоянной отрицательной кривизной. Потом преобразования Бэклунда были найдены для других нелинейных уравнений во время "солитонного бума" 1960-1970 -х годов. Они позволили не только находить их точные решения: была выявлена из глубокая связь с интегрируемостью уравнений, с заложенными в них внутренними симметриями и удивительной связью одних нелинейных уравнений с другими, в том числе линейными. Поэтому в данной статье перенесемся еще на 100 лет назад и рассмотрим связь между дифференциальной геометрией искривлённых пространств и теорией солитонов.

О недопустимости обобщения диагонального аргумента Кантора при переходе к бесконечности: логико-конструктивная критика несчётности континуума

В статье анализируется одно из центральных доказательств теории множеств — диагональный метод Кантора, с помощью которого выводится несчётность множества вещественных чисел. Показывается, что ключевой логический шаг — построение элемента, отличающегося от каждого в счётном списке хотя бы в одном разряде — является логически недопустимым при переходе к бесконечным объектам. Аргумент строится на строгом анализе природы бесконечности и недоказанности завершённости построения. В результате утверждается, что теорема Кантора не является доказательством несчётности континуума, а гипотеза континуума — остаётся именно гипотезой

В 2020 г. во многих средствах массовой информации писали об очередной «теории всего» – гипотезе рекурсивно самовычисляющей Вселенной. Её автор – известный бизнесмен и программист Стивен Вольфрам, который разработал базу знаний Wolfram Alpha и ПО Mathematica. Особенно большой ажиотаж вызвала статья «Кажется, мы близки к пониманию фундаментальной теории физики, и она прекрасна», переведенная для Хабра уважаемым @SergioShpadi 448-страничный технический документ, загруженный на arxiv.org, называется скромнее: «Класс моделей, потенциально представляющих фундаментальную физику». Он переполнен странными графическими изображениями, но не содержит ни одной математической формулы. Что это вообще такое – наука нового типа или причудливое увлечение миллиардера? Это теория одной или множества вселенных? Как она соотносится с теорией Эверетта и другими интерпретациями квантовой механики? Светит ли ей признание официальной наукой, или она войдёт в историю как образец псевдонаучной (гипер)графомании? Может ли наш мир оказаться подобием Майнкрафта, японского сканворда или головоломки «соедини точки по цифрам»»?

Стивен Вольфрам уже много лет жалуется, что физики его игнорируют и не хотят писать отзывы на его работы. Неужели это признак глобального заговора учёных, не желающих менять старую парадигму мышления? Я не физик и не математик, чтобы делать выводы о корректности всех моделей, но и теория у Вольфрама не такая сложная, чтобы не разобраться в ней без специального образования. На мой взгляд, Вольфрам заслуживает более пристального внимания, ведь его модель весьма показательна как пример того, как далеко можно зайти в поисках дискретной и детерминированной основы физической реальности. Поэтому представляю вам свой философский обзор и объяснение теории рекурсивно самовычисляющей Вселенной на естественном языке.