В специальной (СТО) и общей (ОТО) теориях относительности широко используется понятие метрического тензора (метрики). В разных источниках можно найти несколько определений этого понятия, но все они страдают общим недостатком -- крайней математизированностью. Для людей с математическим складом мышления, уже когда-то понявшими, что такое метрический тензор, приводимые в литературе определения, вероятно, представляются ясными и очевидными. Но они не помогают, а, напротив, лишь затрудняют постижение сути этого понятия человеку с обыденным мышлением, впервые с ним столкнувшимся. Дело в том, что математические определения не раскрывают физического смысла метрического тензора, то есть, не позволяют представить его роль и место в физическом мире.
В этом тексте мы попытаемся изложить смысл метрического тензора с физической, даже обыденной точки зрения, не выходя при этом за пределы простой математики.
Цель, ради которой метрику и метрический тензор ввели в научный оборот, -- желание описать любое пространство с помощью математических формул. Как это можно сделать? Для начала представим две бесконечно близкие точки 1 и 2 в обычном евклидовом пространстве. Будем считать, что мы перемещаемся из точки 1 в точку 2 по кратчайшему пути. В таком случае расстояние между точками определяется длиной вектора ds, проведённого из точки 1 в точку 2.
В частном случае прямоугольной декартовой системы на плоскости квадрат длины вектора ds2 рассчитывается по теореме Пифагора по значениям координат dx1 и dx2:
